統(tǒng)計數(shù)據(jù) - 峰度
2018-12-28 10:08 更新
通過峰度測量平坦度或峰值度。 它告訴我們分布相對于正態(tài)曲線平坦或峰值的程度。 圖解地示出了三種不同類型的曲線的形狀。
正常曲線稱為Mesokurtic曲線。 如果分布曲線比正常曲線或中間曲線曲線更尖銳，則其被稱為勒曲曲線。 如果曲線的峰值比正常曲線小，則稱為平片曲線。 峰度由力矩測量并由下式給出:
式
$ {\\ beta_2 = \\ frac {\\ mu_4} {\\ mu_2}} $
其中 -
$ {\\ mu_4 = \\ frac {\\ sum（x- \\ bar x）^ 4} {N}} $
\\ beta_2的值越大，曲線的峰值或曲率越大。 正常曲線的值為3，leptokurtic的\\ beta_2大于3，platykurtic的\\ beta_2小于3。
例子
問題陳述:
提供了一個工廠45名工人的日工資數(shù)據(jù)。 Compute \\ beta_1和\\ beta_2使用關(guān)于平均值的矩。 評論結(jié)果。
| 工資（盧比） | 工人人數(shù) |
|---|---|
| 100-200 | 1 |
| 120-200 | 2 |
| 140-200 | 6 |
| 160-200 | 20 |
| 180-200 | 11 |
| 200-200 | 3 |
| 220-200 | 2 |
解決方案:
|
工資 （Rs。） |
工人數(shù)量 （f） |
中午 m |
m - $ {\\ frac {170} {20}} $ d |
$ {fd} $ | $ {fd ^ 2} $ | $ {fd ^ 3} $ | $ {fd ^ 4} $ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 100-200 | 1 | 110 | -3 | -3 | 9 | -27 | 81 |
| 120-200 | 2 | 130 | -2 | -4 | 8 | -16 | 32 |
| 140-200 | 6 | 150 | -1 | -6 | 6 | -6 | 6 |
| 160-200 | 20 | 170 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 180-200 | 11 | 190 | 1 | 11 | 11 | 11 | 11 |
| 200-200 | 3 | 210 | 2 | 6 | 12 | 24 | 48 |
| 220-200 | 2 | 230 | 3 | 6 | 18 | 54 | 162 |
| ? | ${N=45}$ | ? | ? | $ {\\ sum fd = 10} $ | $ {\\ sum fd ^ 2 = 64} $ | $ {\\ sum fd ^ 3 = 40} $ | $ {\\ sum fd ^ 4 = 330} $ |
由于偏差是從假定的平均值得到的，因此我們首先計算任意原點的時刻，然后計算平均值的時刻。 關(guān)于任意起源的時刻\'170\'
${\mu_1^1= \frac{\sum fd}{N} \times i = \frac{10}{45} \times 20 = 4.44 \\[7pt]
\mu_2^1= \frac{\sum fd^2}{N} \times i^2 = \frac{64}{45} \times 20^2 =568.88 \\[7pt]
\mu_3^1= \frac{\sum fd^2}{N} \times i^3 = \frac{40}{45} \times 20^3 =7111.11 \\[7pt]
\mu_4^1= \frac{\sum fd^4}{N} \times i^4 = \frac{330}{45} \times 20^4 =1173333.33 }$
關(guān)于平均值的時刻
${\mu_2 = \mu'_2 - (\mu'_1 )^2 = 568.88-(4.44)^2 = 549.16 \\[7pt]
\mu_3 = \mu'_3 - 3(\mu'_1)(\mu'_2) + 2(\mu'_1)^3 \\[7pt]
\, = 7111.11 - (4.44) (568.88)+ 2(4.44)^3 \\[7pt]
\, = 7111.11 - 7577.48+175.05 = - 291.32 \\[7pt]
\\[7pt]
\mu_4= \mu'_4 - 4(\mu'_1)(\mu'_3) + 6 (\mu_1 )^2 (\mu'_2) -3(\mu'_1)^4 \\[7pt]
\, = 1173333.33 - 4 (4.44)(7111.11)+6(4.44)^2 (568.88) - 3(4.44)^4 \\[7pt]
\, = 1173333.33 - 126293.31+67288.03-1165.87 \\[7pt]
\, = 1113162.18 }$
從平均值的移動值，我們現(xiàn)在可以計算$ {\\ beta_1} $和$ {\\ beta_2} $:
${\beta_1 = \mu^2_3 = \frac{(-291.32)^2}{(549.16)^3} = 0.00051 \\[7pt]
\beta_2 = \frac{\mu_4}{(\mu_2)^2} = \frac{1113162.18}{(546.16)^2} = 3.69 }$
從上面的計算可以得出結(jié)論，測量偏度的$ {\\ beta_1} $幾乎為零，從而表明分布幾乎是對稱的。 $ {\\ beta_2} $測量峰度，具有大于3的值，因此意味著分布是leptokurtic。
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