請思考以下問題：

　　任意給定正整數(shù)n，請問在小于等于n的正整數(shù)之中，有多少個與n構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系？（比如，在1到8之中，有多少個數(shù)與8構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系？）

計算這個值的方法就叫做歐拉函數(shù)，以φ(n)表示。在1到8之中，與8形成互質(zhì)關(guān)系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的計算方法并不復(fù)雜，但是為了得到最后那個公式，需要一步步討論。

第一種情況

如果n=1，則 φ(1) = 1 。因為1與任何數(shù)（包括自身）都構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系。

第二種情況

如果n是質(zhì)數(shù)，則 φ(n)=n-1 。因為質(zhì)數(shù)與小于它的每一個數(shù)，都構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系。比如5與1、2、3、4都構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系。

第三種情況

如果n是質(zhì)數(shù)的某一個次方，即 n = p^k (p為質(zhì)數(shù)，k為大于等于1的整數(shù))，則

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

這是因為只有當(dāng)一個數(shù)不包含質(zhì)數(shù)p，才可能與n互質(zhì)。而包含質(zhì)數(shù)p的數(shù)一共有p^(k-1)個，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它們?nèi)コ?，剩下的就是與n互質(zhì)的數(shù)。

上面的式子還可以寫成下面的形式：

可以看出，上面的第二種情況是 k=1 時的特例。

第四種情況

如果n可以分解成兩個互質(zhì)的整數(shù)之積，

　　n = p1 × p2

則

　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即積的歐拉函數(shù)等于各個因子的歐拉函數(shù)之積。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

這一條的證明要用到"中國剩余定理"，這里就不展開了，只簡單說一下思路：如果a與p1互質(zhì)(a<p1)，b與p2互質(zhì)(b<p2)，c與p1p2互質(zhì)(c<p1p2)，則c與數(shù)對 (a,b) 是一一對應(yīng)關(guān)系。由于a的值有φ(p1)種可能，b的值有φ(p2)種可能，則數(shù)對 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)種可能，而c的值有φ(p1p2)種可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五種情況

因為任意一個大于1的正整數(shù)，都可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的積。

根據(jù)第4條的結(jié)論，得到

再根據(jù)第3條的結(jié)論，得到

也就等于

這就是歐拉函數(shù)的通用計算公式。比如，1323的歐拉函數(shù)，計算過程如下：